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第67章 对不起,我水平不够……(1)

“你看,这样就是一个椭圆曲线了。不过不是一般的圆锥曲线中的椭圆,而是域上亏格为1的光滑射影曲线。如果特征不等于2的话,那么仿射方程就是y^2x^3+ax^2+bx+c。

那个bsd猜想的前置条件你肯定还记得吧?复数域上的椭圆曲线为亏格为1的黎曼面,整体域上的椭圆曲线是有限生成交换群。阿贝尔簇是椭圆曲线的高维推广。

所以这个时候我感觉就要把椭圆曲线化成魏尔斯特拉斯形式。这是我看了很多相关理论之后才找到的方法。这种变形就属于很机械的操作,前提条件是方程至少存在一个有理数点。

但显然这一步是成立的,之前我们已经证明了,所以我们就能得到这两个公式”

乔喻一边说,一边在小桌板上用笔写着。

兰杰则认真听着,脖子脖子伸得老长,去看乔喻的整体解题过程,以及随手用坐标系画出的平面图。

“很显然,我们现在得到了一条有着两个实部的经典椭圆曲线。右边的线,明显是连续延伸至正负无穷,左边的封闭椭圆曲线就是求解的关键了,给定这个方程任意解,都可以用等式还原我们要求的数值。”

“这一步最关键的地方就在于三元组(a:b:c)必须是投影曲线,这才可以随便乘什么常数,都能让方程成立。接下来就要用到双向有理等价了,我就直接在这个椭圆曲线上找一个最方便求解的有理数点,再带入原方程,就能求出解了。

其实到了这一步就简单了,椭圆曲线理论中,弦切技巧是生成新的有理数点的关键工具嘛。只要在椭圆曲线上找到两个已知的有理数点:p1跟p2,就能通过加法生成新的有理数点。

接下来就是直接在构造切线了,这个时候就自然形成了一个阿贝尔群,我们要引入o这个群中的零元,根据规则,任何一个点p跟o相加时结果依然是p。

我们再通过作p点的切线,找到p跟曲线再次相交的点,然后再计算,如果得不到整数解,就继续用连接p和2p找到与曲线的第三个交点再与o点相连找到第四个交点,不行就重复这个步骤找第五个交点

总之就是重复这个步骤,一直到找到对应的整数解为止。不过这一步靠手算肯定不行了,只能用电脑来算,找到那个值后,再用几何程序进行迭代。

最后计算9p才是整数,然后就是用得到的9p的值,做9次几何程序迭代,最后就能得出上述这个方程a,b,c的值了。

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